Rabu, 16 September 2009

Rangkaian seri dan paralel

Selama ini kita mengenal dua macam susunan dasar dari rangkaian listrik, yaitu susunan atau rangkaian seri dan rangkaian paralel. Jika ada k buah tahanan (resistor) dengan nilai seragam sebesar R, cara penyusuan k buah resistor ini akan mempengaruhi nilai tahanan total yang kita peroleh. Gambar-gambar berikut meyatakan susunan satu buah resistor R, rangkaian seri dari k buah resistor, dan rangkaian paralel-nya:

A Resistor Serial Resistors Parallel Resistors

Gambar 1. Satu buah R, rangkaian seri, dan rangkaian paralel

Pada pelajaran Fisika tingkat SMA atau kuliah awal dalam Dasar Rangkaian Elektrik, kita tahu bahwa nilai total dari k buah tahanan seragam R yang disusun secara seri adalah

Rangkaian Seri: RS = R + R + … + R = kR

Sedangkan jika tahanan tersebut disusun secara paralel, maka nilai total di kedua ujung rangkaian akan menjadi

Rangkaian Paralel: RP = R //R// … //R = R/k

Notasi “+” telah dipakain untuk menyatakan susunan beberapa tahanan secara serial sedangkan notasi garis miring sejajar “//” dipakai untuk menyatakan rangkaian paralel. Tentu kita dapat mencampurkan kedua jenis susunan ini, lalu melakukan perhitungan secara bertahap dengan membagi tiap susunan ke elemen dasarnya, seri atau paralel.

Sebelum diskusi ini berlanjut, terlebih dahulu akan diperkenalkan suatu susunan jenis baru yang disebut sebagai susunan serupa-diri (self-similar) atau secara singkat disebut sebagai susunan fraktal. Nama ini dipilih karena bentuk dan proses konstruksinya mirip dengan fraktal deterministik, misalnya kurva Koch, Koch Snowflake, Sierpinsky Gasket, atau objek-objek geometri fraktal lainnya.

Fractal Resistors

Gambar 2. Rangkaian tersusun fraktal RF[1], RF[2], dan RF[3]

Proses pembentukan rangkaian fraktal diawali dengan suatu elemen dasar fraktal, yaitu rangkaian paling kiri pada Gambar 2, berupa 4 buah tahanan terangkai secara campuran, seri dan paralel. Karena semua nilai setiap tahanan adalah R, maka tahanan total dikedua ujungnya (kiri-kanan atau atas-bawah) adalah RT =(R+R)//(R+R) = 2R//2R = 2R/2 = R. Susunan tahanan ini akan kita sebut sebagai tahanan fraktal pertama atau tahanan fraktal orde-1 dan dilambangkan sebagai RF[1]. Tahanan fraktal orde-2 atau RF[2] dibuat dengan cara menggantikan setiap tahanan pada RF[1] dengan RF[1]. Demikian pula, tahanan fraktal orde-3 dibuat dengan cara menggantikan setiap tahanan pada tahanan fraktal orde dua RF[2] dengan tahanan fraktal orde satu RF[1]. Proses ini dapat diteruskan sampai orde ke-k berapapun yang kita inginkan. Cara pembentukan seperti ini mirip dengan operasi perkalian Kronecker “*” pada konstruksi matriks Hadamard. Kita akan memakai notasi ini untuk menyatakan penyusunan tahanan secara fraktal. Dengan demikian, proses pembentukan tahanan fraktal dari orde-1 sampai dengan orde ke-k dapat dituliskan

Orde -1 : RF[2] = RF[1]*RF[1]

Orde - 2: RF[3] = RF[1]*RF[1]ÄRF[1] = RF[2]*RF[1]

Orde – k: RF[k] = RF[k-1]*RF[1]

Tidak terlalu sulit untuk menyimpulkan bahwa berapapun orde dari tahanan yang terangkai secara fraktal ini adalah sama, yaitu R. Sebagai contoh kita akan mencoba menghitung RF[3]. Karena setiap elemen tahanan fraktal orde-1 bernilai R, maka penggantian setiap elemen RF[1] didalam RF[3] dengan tahanan ekivalennya, yaitu R, akan menghasilkan rangkaian setara dengan rangkaian fraktal orde dua RF[2]. Proses reduksi lebih lanjut untuk tahanan orde-2 ini akan menghasilkan tahanan orde-1. Dengan demikian, nilai tahanan total dari RF[3] adalah sama dengan tahanan total RF[2] dan juga sama dengan RF[1], yaitu R. Dalam konteks ini, kita dapat menyebut bahwa rangkain yang hanya terdiri dari satu tahanan saja, seperti pada Gambar 1 paling kiri, dapat dianggap sebagai RF[0]. Proses sintesis ini bisa dilakukan untuk orde-k berapapun. Akhirnya kita dapatkan ekspresi nilai tahanan total dari jembatan fratal orde k sebagai berikut:

Rangkaian Fraktal: RF = R*R* … *R = R

Sebagai rangkuman, kita telah melihat tiga macam susunan rangkaian dasar dan cara menghitung nilai tahanan total jika diberikan k buah tahanan yang semuanya identik, yaitu R. Susunan seri memberikan nilai tahanan total sebesar kR, susunan paralel sebesar R/k, dan yang menarik adalah susunan fraktal menghasilkan nilai total R yang tetap atau invarian tanpa bergantung pada berapapun nilai k.

Berdasarkan konstruksi Kronecker, ada syarat bahwa jumlah tahanan M hanya akan terbatas pada nilai-nilai tertentu, yaitu

M = (4)k

Pertanyaan berikutnya adalah, jika kita diperbolehkan mencampur ketiga macam rangkaian tersebut (seri, paralel, fraktal) dengan syarat tahanan totalnya tetap R, berapa sajakah nilai M yang memenuhi syarat? Apakah ada M lain disamping 4k seperti diatas? Apakah M tidak boleh ganjil?

suksmono on April 28, 2008

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar